Herzlich willkommen zur ersten Videoaufnahme der Vorlesung Mathematik für Physikstudierende C.

Mein Name ist Daniel Tenbrink und ich habe die Freude in diesem Semester, sich wieder mit

modularen kurzen Videos begleitend zur Vorlesung durch den Stoff dieser Veranstaltung zu führen.

Wir werden anfangen im allerersten Kapitel mit dynamischen Systemen. Das sind sehr spannende

mathematische Modelle, die viele Anwendungen finden, sowohl in der Biologie als auch in der Physik,

was für sie ganz spannend sein dürfte. Und wir werden das ganze Kapitel in mehrere Unterkapitel

auftrennen. Zuerst werden wir eine kleine Einführung geben, was sind eigentlich dynamische Systeme,

um eine Intuition zu bekommen, worüber wir da reden. Also Einführung in dynamische Systeme.

Anschließend werden wir nochmal die wichtigsten Definitionen und Sätze zu gewöhnlichen

Differentialgleichungen wiederholen und die Konzepte ein wenig erweitern, so dass wir dynamische

Systeme besser charakterisieren können mathematisch. Das heißt, hier gibt es eine kleine Wiederholung

zu gewöhnlichen Differentialgleichungen. Das heißt, wir beginnen diese Vorlesung so,

wie wir die letzte Vorlesung beendet haben. Gewöhnliche Differentialgleichungen.

Anschließend werden wir zwei neue mathematische Werkzeuge kennenlernen, nämlich sogenannte Flüsse

und Phasenporträts. Die werden uns helfen, diese dynamischen Systeme zu charakterisieren. Das heißt,

wir werden haben Flüsse und Phasenporträts. Und abschließend werden wir uns mit einer ganz

speziellen Klasse von Differentialgleichungen beschäftigen, die in der Physik in verschiedenen

Stellen vorkommen, insbesondere in der klassischen Mechanik. Das sind die hemmeltonischen

Differentialgleichungen. Dort werden wir Phasenporträts betrachten und diese nutzen,

um die Lösungsmenge der hemmeltonischen Differentialgleichungen zu charakterisieren.

In diesem allerersten Video werden wir uns natürlich erst einmal nur mit der Einführung

und dynamischen Systemen beschäftigen, wie der Titel auch sagt. Und wir wollen eine kleine

Motivation geben, warum es überhaupt spannend ist, sich mathematisch mit diesem Thema zu

beschäftigen. Dynamische Systeme im Allgemeinen spielen eine zentrale Rolle bei der Beschreibung

von zeitabhängigen Prozessen und kommen in vielen verschiedenen Anwendungsgebieten zu tragen. Wir

können zum Beispiel in der Physik uns ein einfaches Beispiel überlegen, nämlich das Ausschwingen

eines Pendels. Das heißt, Einführung zu dynamischen Systemen. Und als allererstes

Beispiel betrachten wir das Ausschwingen eines Pendels. Das ist ein klassisches Beispiel für

solch ein dynamisches System. Wie müssen wir uns das Ganze vorstellen? Na ja, sagen wir mal,

wir haben einen Punkt, an dem wir ein Pendel befestigt haben und wir haben das Pendel in

Schwingung versetzt. Das heißt, es schwingt von links nach rechts. Dann versuchen wir mathematisch

zu verstehen, was sind die Zustände, die wir erwarten können dieses Pendels. Das heißt,

über die Zeit wollen wir wissen, wie verhält sich das Pendel, wenn wir es einfach schwingen lassen

und wie lange dauert es, bis es wieder zur Ruhe kommt. Das wäre ein klassisches Beispiel für

solch ein dynamisches System. Und wir werden uns damit auch mathematisch näher beschäftigen,

später. Ein anderes Beispiel, vielleicht aus der Biologie, wäre klassischerweise das Räuber-Beutemodell,

an dem Sie bestimmt auch schon gehört haben, bei dem man zwei Populationen unterschiedlicher

Tierarten modelliert, die voneinander abhängen. Das ist typischerweise eine Räuber-Population,

eine Beutepopulation. Und je mehr Räuber es gibt, desto weniger Beutetiere, denn die werden

gefressen. Und je weniger Räuber-Tiere es gibt, desto mehr können sich die Beutetiere

vervielfältigen und vermehren. Und dementsprechend gibt es dort eine Abhängigkeit. Und man kann dann

über die Zeit modellieren, wie sich diese beiden Populationen zueinander verhalten. Und das ist

auch ein klassisches Beispiel solch eines dynamischen Systems in der Biologie. Wie sieht

das Ganze aus? Typischerweise hat man dann da so einen Graphen, der gibt in der y-Achse die

Population an und in der x-Achse die Zeit, die vergeht. Population, Zeit. Und dann betrachtet man

zwei unterschiedliche Kurven. Wir könnten zum Beispiel sagen, wir haben eine Beutekurve,

die hat dann typischerweise in solchen Modellen solch einen Verlauf, der so ein bisschen sinusförmig

aussieht, das heißt auf und ab geht. Und das hängt natürlich stark damit zusammen, wie sich

die Räuber verhalten. Und bei einem großen Vorkomm von Beutetieren sieht man, dass das Wachstum

der Räuber stark zunimmt, bis zu einem Punkt, an dem zu viele Beutetiere gefressen worden sind.